n维向量 ​2.1 n维向量及其运算 ​2.1.1 n维向量的概念 ​​ 每个分量都为0的向量称为零向量。n维零向量：0=θ=(00⋮0).

​ 向量α视为矩阵时的负矩阵称为α的负向量，记为−α.

​ 单位向量εn：ε1=(100⋮0)，ε2=(010⋮0)，……

2.1.2 n维向量的线性运算 ​​ n维向量的加法与数乘统称为线性运算，同矩阵的线性运算。

2.1.3 线性运算的性质 ​​ α+β=β+α

​ (α+β)+γ=α+(β+γ)

​ α+0=α

​ α+(−α)=0

​ 1α=α

​ k(lα)=(kl)α

​ k(α+β)+kα+kβ

​ (k+l)α=kα+lα

2.1.4 线性组合和线性表示 ​线性组合 ​​ 给定维数相同的向量构成的向量组{α1,…,αs}，设k1,…,ks是数，则称向量k1α1+…+ksαs是向量组的一个线性组合，k1,…,ks是这个线性组合的组合系数。

线性表示 ​​ 如果n维向量η可以写成向量组{α1,…,αs}的线性组合，则称η可以由向量组{α1,…,αs}线性表示。

​ 设As×n=(α1…αn)，则Ax=β有解当且仅当β可以由α1,…,αn线性表示。

n维基本单位向量组 ​​ A=(ε1…εn)=(1⋱1)=En

​ α可以由ε1,…,εn线性表示，由于Enx=α的解是唯一的，所以α可以由ε1,…,εn线性表示的方式唯一。

​ ε1,ε2,…,εn称为n维基本单位向量组。

平凡表示与非平凡表示 ​​ 平凡表示：0⋅α1+0⋅α2+…+0⋅αn=0

​ 非平凡表示：k1α1+k2α2+…+knαn=0（k1,k2,…,kn不全为零）

2.2 向量组的秩与线性相关性 ​2.2.1 向量组的秩与线性相关性 ​向量组的秩 ​​ 给定n维列向量组α1,…,αs，令A=(α1…αs)，定义向量组的秩r{α1,…,αs}=r(A).

​ 向量组的秩实际上就是其极小生成元集中向量的个数。向量组的秩在某种意义上刻画了这个向量组中向量间相互独立的程度。

线性相关性 ​​ 对于向量组$$\boldsymbol{\alpha}_1,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_s$$，

​ 若r{α1,…,αs}=s，则称向量组α1,…,αs线性无关，

​ 若r{α1,…,αs}

​ An×s=(α1…αs)，则下列命题等价：

​ α1,…,αs线性无关

​ r(A)=s

​ 方程Ax=0只有零解

​ 零向量0只有平凡表示

​ 下列命题也等价：

​ α1,…,αs线性相关

​ r(A)

​ 方程Ax=0有非零解

​ 零向量0有非平凡表示

​ 由一个向量构成的向量组是线性相关的，当且仅当这个向量为零向量。

​ 由两个向量构成的向量组是线性相关的，当且仅当这两个向量的分量成比例。

​ 当s>n时，任意s个n维向量一定线性相关。

2.2.2 向量组秩的性质 ​向量组等价 ​​ 如果向量组β1,β2,…,βt中每个向量都可以由α1,α2,…,αs线性表示，则称向量组β1,β2,…,βt可以由α1,α2,…,αs线性表示。

​ 如果这两个向量组可以相互线性表示，则称它们等价。

​ 向量组的等价具有反身性、对称性、传递性。

向量组等价的性质 ​​ 反身性：{α1,α2,…,αs}≅{α1,α2,…,αs}.

​ 对称性：若{α1,α2,…,αs}≅{β1,β2,…,βt}，则{β1,β2,…,βt}≅{α1,α2,…,αs}.

​ 传递性：若{α1,α2,…,αs}≅{β1,β2,…,βt}，{β1,β2,…,βt}≅{γ1,γ2,…,γn}，则{α1,α2,…,αs}≅{γ1,γ2,…,γn}.

​ 如果向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt等价，则r{α1,α2,…,αs}=r{α1,α2,…,αs}.

​ 如果向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt都线性无关且等价，则s=t.

2.3 向量组线性相关性的等价刻画 ​2.3.1 等价刻画 RmI ​​ 在几何空间中，两个矢量α,β线性相关当且仅当它们共线，三个矢量α,β,γ线性相关当且仅当它们共工面。

​ n维向量组α1,α2,…,αs是线性相关的的充分必要条件是存在不全为0的数k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0.

​ 如果某个向量组的部分是线性相关的，则整个向量组是线性相关的。

​ 向量组α1,α2,…,αs是线性无关的当且仅当由k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0可以推出k1,k2,…,ks全为0.

2.3.2 等价刻画 RmII ​​ 向量组α1,α2,…,αs线性相关当且仅当在α1,α2,…,αs中存在一个向量αj，使得αj可以由其余s−1个向量线性表示。

​ 若向量组α1,α2,…,αs线性无关，α1,α2,…,αs,β线性相关，则β可由α1,α2,…,αs线性表示，且表示方式是唯一的。

2.4 向量组的极大线性无关组 ​2.4.1 向量组的极大线性无关组 ​​ 若向量组α1,α2,…,αs的秩为r(r>0)，其中存在部分组αi1,αi2,…,αir，使得αi1,αi2,…,αir线性无关且α1,α2,…,αs中的每一个向量都可以用αi1,αi2,…,αir线性表示，则称αi1,αi2,…,αir为向量组α1,α2,…,αs的一个极大线性无关组，简称极大无关组。

​ 一个向量组的极大无关组一般而言不唯一。但是都应含有r个向量。

2.4.2 向量组的极大无关组的计算(I) ​​ 观察向量组中的r个向量线性无关，就可以得到一组极大无关组。

2.5 向量空间 ​2.5.1 向量空间的概念 ​​ 设V为Rn的一个非空子集，若对任意的α,β∈V及∀k∈R，有加法封闭α+β∈V、数乘封闭kα∈V，则称V是Rn的一个子空间，或简称向量空间。

​ 不包含零向量的不可能是向量空间。

​ 向量空间要用集合的语言来研究线性表示、线性无关、线性相关这三个概念。

L{α1,α2,…,αs}=R(A)={k1α1+k2α2+…+ksαs|k1,k2,…,ks∈R}K{α1,α2,…,αs}=K(A)={(k1k2⋮ks)|k1α1+k2α2+…+ksαs=0}​ L表示α1,α2,…,αs的所有线性组合，是该向量组生成的向量空间。

​ K表示零向量的所有表示方式的系数构成的列向量，也是向量空间。

2.5.2 向量空间的基和维数 ​​ 设V为一向量空间，若V中向量α1,α2,…,αs线性无关且V中每个向量均可由α1,α2,…,αs线性表示，则称α1,α2,…,αs为向量空间V的一组基

​ 向量空间V的基通常不唯一，但是基中的向量个数唯一，这个数叫做向量空间V的维数，记作dim⁡V.

​ n维基本单位向量组ε1,ε2,…,εn线性无关，Rn中的每个向量都可以由它们线性表示，故ε1,ε2,…,εn是Rn的基，从而dim⁡Rn=n.

​ 对于向量组α1,α2,…,αs，V=L{α1,α2,…,αs}，若αi1,αi2,….αir是α1,α2,…,αs的一个极大无关组，则αi1,αi2,….αir是V的一组基，且dim⁡V=r=r(α1,α2,…,αs).

2.5.3 向量在基下的坐标 ​​ 设α1,α2,…,αs为空间向量V的一组基，若η∈V，则存在唯一一组数k1,k2,…,ks，使得η=k1α1,k2α2,…,ksαs=(α1,α2,…,αs)(k1k2⋮ks)=Ak，则称列向量(k1k2⋮ks)是向量η在V的基α1,α2,…,αs下的坐标。

2.5.4 基变换与坐标变换 ​​ 设α1,α2,⋯,αs和β1,β2,⋯,βs都是向量空间V的基，如果对每个j，βj在V的基α1,α2,⋯,αs下的坐标是pj，令矩阵P=(p1,p2,⋯,ps)，则P是s阶可逆矩阵。称P是从基α1,α2,⋯,αs到基β1,β2,⋯,βs的过渡矩阵。

​ 如果V是列向量空间Rn的子空间，则(α1,α2,⋯,αs)、(β1,β2,⋯,βs)为n×s矩阵，满足

(β1,β2,⋯,βs)=(α1,α2,⋯,αs)P设向量η∈V在基α1,α2,⋯,αs和β1,β2,⋯,βs下的坐标分别是x和y，则必定有x=Py，即y=P−1x，这被称为坐标变换公式。

2.6 内积与正交矩阵 ​2.6.1 n维向量的内积 ​内积的定义 ​​ 设α=(x1⋮xb)，β=(y1⋮yn)为两个n维向量，称它们的对应分量相乘再相加得到的数叫做它们的内积，记为⟨α,β⟩.

​ 即：⟨α,β⟩=αTβ=x1y1+⋯+xnyn.

内积的性质 ​​ 对于n维向量α,β,γ及实数k，有

​ (1) ⟨α,β⟩=⟨β,α⟩

​ (2) ⟨kα,β⟩=k⟨α,β⟩

​ (3) ⟨k1α1+k2α2,β⟩=k1⟨α1,β⟩+k2⟨α2,β⟩

​ 特别的，⟨α+β,γ⟩=⟨α,γ⟩+⟨β,γ⟩

​ (4) ⟨α,α⟩≥0，且⟨α,α⟩=0当且仅当α=0

Cauchy不等式的向量表示 ​​ |⟨α,β⟩|≤⟨α,α⟩⟨β,β⟩

向量的长度与性质 ​​ 设α、β都是n维向量，定义⟨α,α⟩为α的长度，记为∥α∥.

​ 若均不为零向量，α和β的夹角为arccos⁡⟨α,β⟩∥α∥∥β∥

​ 对于n维向量α,β及实数k，有

​ (1) 恒正性 ∥α∥≥0，且∥α∥=0当且仅当α=0

​ (2) 齐次性 ∥kα∥=|k|⋅∥α∥

​ (3) 三角不等式 ∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥

​ 对于非零向量α，α∥α∥一定是单位向量，这一过程叫做将α单位化。

2.6.2 正交向量组和施密特(Schmidt)正交化方法 ​向量的正交 ​​ 若⟨α,β⟩=0，则称α,β是正交的，记为α⊥β.

​ 零向量与任意向量都是正交的，两个非零向量正交当且仅当这两个向量的夹角为π2.

正交向量组 ​​ 称由两两正交的非零向量所构成的向量组为正交向量组，由两两正交的单位向量所构成的向量组为标准正交向量组或正交规范向量组。

​ 例如，n维基本单位向量组ε1,ε2,⋯,εn是标准正交向量组。

​ 正交向量组是线性无关的。

​ 向量空间由两两正交的非零向量所构成的基为正交基，由两两正交的单位向量所构成的基为标准正交基或正交规范基。

Schmidt正交化方法 ​​ Schmidt正交化方法给出了由一个线性无关的向量组得到其生成的向量空间的标准正交向量组的一般化方法。

​ 要将向量组α1,α2,⋯,αs改造成标准向量组，需进行两步：正交化、单位化。

​ β1=α1β2=α2−⟨α2,β1⟩∥β1∥2β1β3=α3−⟨α3,β2⟩∥β2∥2β2−⟨α3,β1⟩∥β1∥2β1⋮βs=αs−⟨αs,βs−1⟩∥βs−1∥2βs−1−⋯−⟨αs,β1⟩∥β1∥2β1

​ β1,β2,⋯,βs为原向量组生成空间的一组正交基，下面对其进行单位化。 ​ γ1=β1∥β1∥γ2=β2∥β2∥⋮γs=βs∥βs∥

​ γ1,γ2,⋯,γs即为原向量组生成空间的一组标准正交基。

2.6.3 正交矩阵 ​正交矩阵 ​​ 如果n阶实矩阵A满足ATA=E，则称A是正交矩阵，简称正交阵。

​ 实矩阵A是正交阵当且仅当A是可逆的，且AT=A−1.

​ n阶实矩阵A是正交矩阵当且仅当A的行向量组是Rn的标准正交基，当且仅当A的列向量组是Rn的标准正交基。

正交矩阵的性质 ​​ 若A是正交阵，|A|=±1.

​ 若A是正交阵，则AT=A−1，且也为正交阵。

​ 若A,B为同阶正交阵，则AB也为正交阵。